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Le chemin le plus court sur le cylindreLe plus court chemin d’un point A à un point B sur une surface développable est la ligne droite reliant les deux points sur le patron du solide. Ainsi le plus court chemin d’un point à un autre sur le cylindre une droite sur le patron, mais comment la représenter en trois dimensions ? Nous disposons de l’équation paramétrable de l’hélice cylindrique. Nous nous proposons de démontrer que l’hélice est le chemin le plus court. Équation de l’hélice 1, la
bleue sur le schéma (elle est dire « dextre » : elle monte dans le sens trigonométrique et un
observateur placé à l’extérieur la voit, lorsqu'il est devant, monter de gauche
à droite) :
Équation de l’hélice 2, la rouge sur le schéma (elle est dite « senestre » : elle monte dans le sens des aiguilles d’une montre) :
L’une des deux hélices est toujours la plus courte si elle
représente une droite sur son patron. Pour le prouver, calculons la longueur de
l’hélice et comparons la longueur obtenue à la longueur du segment AB sur le
patron. Longueur de l’hélice cylindrique
On
obtient :
S(a1)
correspond à la longueur de l’hélice sur le cylindre. Longueur de la droite MN sur le patronCalculons maintenant la
longueur du plus court chemin, la droite sur le patron.
On a avec le théorème de Pythagore : Pour Quel est donc le chemin le plus court ?On remarque bien sûr que la longueur de l’hélice
cylindrique est la même que la droite sur le patron. Le chemin le plus court en
deux dimensions est une droite qui correspond à une hélice bien spécifique dans
trois dimensions.
Hélice senestre
Hélice dextre
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