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IntroductionLa ligne droite est-elle le chemin le plus court sur
différentes surfaces, dans différents milieux ? Cette question semble si simple et à la fois si compliquée. De quelles surfaces parlons-nous ? De quels milieux est-il question ? Comment définir le chemin le plus court ? Pouvons-nous dire que la droite est le chemin le plus court dans tous les cas ? Entendons-nous par là le chemin le plus court géométriquement ou temporellement ? Autrement dit, le chemin le plus court ou le plus rapide ? A travers notre travail, nous allons tenter de répondre à ces questions, ainsi qu’à de nombreuses autres, tout aussi importantes. Ces notions sont fondamentales pour la compréhension (même partielle) de notre univers. Il serait impossible de faire quelconque voyage interstellaire sans s’être posé ces questions, et y avoir trouvé des réponses. Le questionnement sur les différentes géométries permet aussi le développement d’une certaine ouverture d’esprit, et rend possible l’étude des mathématiques relativistes. Nous étudierons dans une première grande partie le chemin
le plus court sur différentes surfaces. Plus particulièrement nous nous
attacherons à le montrer et démontrer sur des surfaces particulières : le
cube, le cylindre, la sphère, le disque de Poincaré et la pseudosphère de Lobatchevski. Dans un second
temps nous verrons plus particulièrement le cas de la lumière pour étudier le
chemin le plus court dans différents milieux. Ainsi nous exposerons
l’expérience du mirage que nous avons réalisée, puis nous expliquerons en
détail le phénomène général. Cela nous amènera logiquement à la démonstration
de la loi de Descartes.
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