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Loi de Descartes

- ou comment sauver le plus rapidement possible une jeune femme de la noyade -

 

Superman travaillait tranquillement son dernier devoir de Sciences Physique sur les circuits RLC, au balcon du dernier étage de la tour Montparnasse, lorsqu'il entendit un cri aigu d'appel au secours. Une femme.  "Au secooouuuuuurs, je me noiiiiie, venez vite me sauver !". Aussitôt Superman enfila son habit de Super Héros et décida de voler au secours de la jeune fille.


Mais un grand problème se posa à lui : comment aller du sommet de l'immeuble jusqu'au fond du lac, sans perdre un seul millionième de seconde ?

 

Superman décida de réfléchir un peu. Le but est de chercher le chemin pour lequel le temps de parcours de A (Superman) à B (la femme qui se noie) est minimum.

 

 

Superman
 

Milieu 1 d’indice n1
 

Milieu 2 d’indice n2
 

Jeune femme
 

Schéma valable pour le cas n1 < n2
 

Quelques données intéressantes

 

On pose les vitesses de Superman :

 

  • dans l’air : c (Superman vole à la vitesse de la lumière !)
  • dans l’eau : v             avec

 

 

On établit les temps de vol :

 

 : temps de parcours dans l’air :

 : temps de parcours dans l’air :

 : temps mis par Superman pour aller de A à B :

                                      

Recherche de

On cherche l’abscisse x à laquelle notre Héros doit rentrer dans l’eau, de telle sorte que  soit minimale. On cherche donc  tel que

Pour  

On a

 

          

 

Superman sait donc ce qu’il lui reste à faire. Mais malheureusement notre pauvre super héros a mis trop de temps pour faire son calcul : les pompiers de la ville ont été plus rapides que lui et ont sauvé la jeune femme de la noyade !

Résultat de la démonstration

Néanmoins Superman pouvait être fier de lui : il venait de démontrer la célèbre loi de Descartes ! Cette loi repose comme nous l’avons vu sur le principe de Pierre de Fermat selon lequel la lumière emprunte le chemin pour lequel le temps de parcours est minimum.

En remplaçant la vitesse de Superman c par une autre vitesse v, nous aurions abouti à .



© 2003 Matthieu Aubry - Pascal Blome
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