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Le chemin le plus court sur le cubeLe cube �tant un espace euclidien, nous savons que le chemin plus court d�un point � un autre est la droite qui relie ces deux points sur son patron. Il existe en tout 11 patrons du cube (voir ci-dessous) : la difficult� est donc de choisir le bon patron pour d�terminer le chemin le plus court. Comment trouver les patrons du cube ?Les patrons sont constitu�s des six faces du cube et peuvent �tre obtenus en 3 �tapes successives. � On sait qu�on ne peut aligner plus de quatre bases, sinon une face serait pr�sente en double. On aligne donc quatre carr�s et on dispose les deux derniers sur les c�t�s.
On obtient les 6 premiers patrons. Si on s'interdit d'aligner plus de trois carr�s on d�couvre alors quatre nouveaux patrons.
On trouve le dernier patron en alignant seulement deux carr�s (le minimum possible),
Il n'y a pas d�autres solutions possibles. Quel patron faut-il choisir pour relier deux points par le plus court chemin ?Il n�y a que deux possibilit�s pour placer deux points sur un cube : soit sur des faces oppos�es, soit sur des faces adjacentes. Traitons les deux cas successivement. 1) Deux points sur des faces oppos�esSi les points se trouvent sur des faces oppos�es il y a quatre chemins possibles utilisant chacun au moins 3 faces align�es. Traitons dans un exemple les deux cas les plus probables. Exemple n�1
Longueurs Trajet
bleu : ���� 0,82 Trajet
rouge : � 1,00 Il existe deux possibilit�s envisageables pour tracer le plus court chemin reliant les deux points : le trajet bleu utilisant 3 faces, et le rouge qui en utilise 4. Selon la position des points l�un est plus court que l�autre. La seule solution est donc de les mesurer. 2) Deux points sur des faces adjacentesSi les points se trouvent sur des faces adjacentes les solutions sont plus difficiles � trouver, car il faut consid�rer plus de solutions possibles en fonction de la position des points sur la face. En g�n�ral elles se trouvent sur un des deux patrons partiels suivants (voir exemples) en choisissant la bonne base. Exemple n�2
Ici nous voyons bien que le chemin qui relie les points 1 et 2 n�est pas le plus court. Sur ce patron n�anmoins un seul trac� est possible. Nous devons donc utiliser un autre patron.
Longueurs Trajet
rouge : � 1,00 Trajet
bleu : ���� 0,80 Nous voici devant un trac� plus avantageux. Le chemin bleu est bien plus court que le rouge, et cela m�me s�il utilise trois faces au lieu de deux. Ceci montre bien qu�il existe deux possibilit�s pour trouver le chemin le plus court sur deux faces adjacentes : soit sur deux faces, soit sur trois faces, en angle. Exemple n�3
Longueurs Trajet
rouge : � 0,76 Trajet
bleu : ���� 1,00 Il est facile de voir que le chemin rouge est largement plus court que le bleu. En effet, le chemin bleu emprunte un trajet inutile, et beaucoup plus long : 4 carr�s contrairement au rouge qui n�en n�utilise que 2. Existe-t-il une m�thode ?Pour relier deux points par le chemin le plus court, il faut donc observer le cube et choisir les faces qui conviennent. Il n�y a pas de v�ritable m�thode pour d�finir le chemin le plus court : il faut donc tester les solution les plus probables, en �liminant pr�alablement les autres solutions (comme le trajet bleu ci-dessus qui au premier coup d��il para�t beaucoup plus long que le rouge). La recherche du plus court chemin sur le cube se limite donc au trac� et � la mesure des diff�rentes possibilit�s de trajets. On ne peut en d�duire une r�gle fonctionnelle, car le patron � utiliser d�pend des placements des points sur les faces, il existe donc des centaines de possibilit�s !
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