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ConclusionAprès ce travail, il apparaît évident que le chemin le plus court ne peut pas être la ligne droite sur toutes les surfaces… et dans tous les milieux. Sur les solides mathématiques, nous pouvons distinguer trois cas particuliers. Le premier cas comprendrait les solides développables, comme par exemple le cube et le cylindre. Le chemin le plus court serait effectivement une ligne droite sur le patron. Néanmoins cette ligne droite serait représentée par une courbe lorsque le patron est constitué. Ainsi dans le plan, le plus court chemin est le segment liant les deux points ; dans les 3 dimensions le segment devient courbe, mais reste le chemin le plus court. En effet, sur une surface pleine, une droite liant deux points directement est impossible, car cette droite traverserait le solide. Le deuxième cas concerne les solides non développables, sur lesquels nous pouvons appliquer une géométrie qui est cependant non euclidienne. En effet, sur la sphère, qui est l’exemple que nous avons traité, on ne peut déplier et former un patron. Le chemin le plus court ne peut être représenté sur un plan, mais seulement en trois dimensions. Il est appelé grand cercle : c’est un cercle dont le centre est le centre de la sphère. Le dernier cas concerne les surfaces à géométrie radicalement différentes : le disque de Poincaré et la pseudosphère de Lobatchevski. Dans ce type de géométrie le chemin le plus court est très rarement une ligne droite. Sur le disque de Poincaré par exemple, les droites sont courbes du fait de l’augmentation de la pression lorsque l’on s’approche du bord. L’étude de telles surfaces a permis la mise au point par Einstein de la très célèbre théorie de la relativité générale, qui lui valut le prix Nobel de physique en 1921. Il découvrit que les grosses masses courbaient l’espace et donc la lumière. L’espace ne répond donc pas à une géométrie dite euclidienne. La courbure de la lumière par les masses nous a amenés à travailler sur la lumière, et nous avons montré, à travers la connaissance du principe de Fermat qui dit que la lumière emprunte le chemin pour lequel la durée est minimale, que la lumière ne se propageait pas en ligne droite dans des milieux non homogènes. Nous avons donc pu expliquer le phénomène du mirage, à travers notre expérience, ce qui nous a amenés à démontrer la loi de Descartes liant les directions de propagations de la lumière lorsqu’elle parcourt différents milieux non homogènes. Nous pourrions conclure et répondre à la question de manière générale : la ligne droite entre deux points est très rarement le chemin le plus court. En effet, il est souvent impossible de tracer une droite sur une surface car nombre d’entre elles ne sont pas planes, plus particulièrement les corps célestes dans l’infiniment grand, et les atomes ou molécules dans l’infiniment petit. Cependant lorsque nous faisons des mathématiques, nous raisonnons principalement sur des espaces euclidiens. Dans ce cas là, bien sûr, la ligne droite reste le chemin le plus court.
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